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南京考易达教育:高考数学中曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题

时间:2018-07-25 10:15来源:南京考易达 作者:南京考易达 点击:
曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题 求已知曲线F(x,y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时,只须将曲线F(x,y)=O上任意一点(x,y)关于已知点或已知直

 

  曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题
  
  求已知曲线F(x,y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时,只须将曲线F(x,y)=O上任意一点(x,y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x,y)=0中相应的作称即得,由此我们得出以下结论。
  
  1、曲线F(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x,2b-y)=0
  
  2、曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C),y-(Ax+By+C))=0
  
  特别地,曲线F(x,y)=0关于
  
  (1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x,-y)和F(-x,y)=0
  
  (2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x,y)=0和F(x,2a-y)=0
  
  (3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y,x)=0和F(-y,-x)=0
  
  除此以外还有以下两个结论:对函数y=f(x)的图象而言,去掉y轴左边图象,保留y轴右边的图象,并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
  
  例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1:
  
  1)写出曲线C1的方程
  
  2)证明曲线C与C1关于点A( , )对称。
  
  (1)解 知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s
  
  (2)证明 在曲线C上任取一点B(a,b),设B1(a1,b1)是B关于A的对称点,由a=t-a1,b=s-b1,代入C的方程得:
  
  s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
  
  `b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
  
  `B1(a1,b1)满足C1的方程
  
  `B1在曲线C1上,反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上
  
  `曲线C和C1关于a对称
  
  我们用前面的结论来证:点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y),为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程,得:s-y=(t-x)3-(t-x)
  
  `y=(x-t)3-(x-t)+s
  
  此即为C1的方程,`C关于A的对称曲线即为C1。

(责任编辑:admin)
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